Caindo no fim do universo? Um paradoxo.

Bela imagem da galaxia de andromeda

Será que o universo tem fim? Essa é uma pergunta que parece levar a um paradoxo. Afinal, se tem fim, como será sua fronteira? E se não tem fim, como podemos imaginar um objeto que seja infinito? É provável que qualquer um de nós já tenha se colocado tal questão e continuado preso no paradoxo. É como se o universo não pudesse ser nem finito nem infinito, mas precisamos de uma resposta. Então, o universo tem fim ou não?

Antes de responder, vamos dar nome aos bois. Primeiro começamos diferenciando o que é limitado e o que é ilimitado. Por limitado entendemos algo que possui um limite, ou fronteira. Já ilimitado é algo que não possui limite nem fronteira. Vamos também diferenciar o que é compacto e o que é não-compacto, no vocabulário dos matemáticos. Um objeto compacto é aquele que pode ser medido, porque tem um volume bem definido. Um objeto que não é compacto não pode ser medido, porque não tem um tamanho bem definido. Certo? Se não entendeu, não tem problema. Vamos aos exemplos.

Imagine um daqueles globos terrestres que muitos tem em casa e usamos para brincar de encontrar os países. Agora imagine que você é uma formiga que vive em cima de um desses globos terrestres. A formiga só consegue olhar para frente ou para os lados, nunca para cima. Ela (você!) também não pode pular, porque não sabe como fazer isso. Então tudo o que você pode fazer é andar por cima do globo, e pode andar a vida inteira. Não importa para onde vá, você nunca vai encontrar um limite ou uma fronteira. Nunca vai encontrar um local para onde não possa atravessar. Isso quer dizer que a superfície do globo é ilimitada, simplesmente não tem limites.

Porém é compacta? Certamente! Como humano, você pode olhar para o globo de cima e ver que ele tem um volume fixo. Logo, a superfície do globo é ilimitada, porém não é infinita. Ou seja, é possível existir, para a formiga, um universo que não tem limites, porém finito. E, se a formiga fosse realmente inteligente, ela poderia medir o tamanho do globo! Bom, ela precisaria saber um pouco de geometria não-euclidiana, ler alguns livros, fazer contas…

A superfície de uma esfera é o exemplo mais simples de um “universo” que é, ao mesmo tempo, finito porém ilimitado. Imagem de Jakob.scholbach, Wikimedia Commons, CCA 3.0.

Mas não somos formigas, e nosso universo não tem apenas “para frente e para os lados”, mas tem também para cima. Certo, nosso universo tem uma dimensão espacial a mais do que o da formiga. Porém o que impede que sejamos como formigas, mas em um universo com mais dimensões? Assim como não conseguimos enxergar uma outra dimensão espacial, a formiga também não consegue enxergar nada além da superfície do globo. Ela não consegue pular, lembre-se. Da mesma forma, nós não conseguimos “pular” para essa outra dimensão.

A grande descoberta do matemático Gauss foi que nem é preciso existir essa outra dimensão. Podemos viver em um universo que possua apenas três dimensões espaciais, e mesmo assim seja finito e ilimitado. Ou seja, nunca iremos encontrar um limite para ele, e ainda assim podemos medir o seu volume. É esse o universo em que vivemos? Talvez. Pode ser que sim, pode ser que não, o mais provável é o “talvez”, como diria a Chiquinha. Simplesmente não sabemos.

Somente saberemos quando conseguirmos descobrir a topologia do universo, que é exatamente a disciplina da matemática que lida com essas noções de compacto e limitado. Mas como podemos medir a topologia do universo? Deixe-me explicar. Imagine-se novamente como a formiga no globo. Se você caminhar sempre em frente, irá dar uma volta em torno do globo e voltará para o mesmo lugar. Então saberá que vive em um universo ilimitado. Poderíamos tentar fazer o mesmo, mas seria meio complicado tentar dar a volta no universo. Nós simplesmente não conseguimos dar a volta no universo, mas a luz pode. Então, observando a luz emitida por galáxias, já faz bilhares de anos, podemos tentar descobrir qual a topologia do universo.

Podemos, em tese. Na prática, nunca conseguimos. E por que nunca conseguimos? Uma possibilidade é que o universo seja mesmo infinito (não-compacto), então nunca conseguiremos medir sua topologia. A outra possibilidade é que simplesmente não somos espertos o suficiente. Essa é, inclusive, uma possibilidade muito válida. Não é nada fácil olhar para o céu e, a partir de imagens celestes, tentar desvendar a topologia do universo.

Enquanto não sabemos a resposta para essa pergunta, ao menos espero que vocês tenham entendido que o paradoxo acima não é bem um paradoxo, desde que pensemos que o universo pode não ser o espaço que estamos acostumados. Ele pode ser simplesmente como um globo na visão de uma formiga, ao mesmo tempo finito e ilimitado, onde ela pode vagar por toda a eternidade sem nunca cair para fora dele.

Author: João Paulo Morais

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